几乎MDS码为近MDS码的判据及Geng-Yang-Zhang-Zhou猜想的证明

设 $\mathbb{F}_q$ 为包含 $q$ 个元素的有限域，其中 $q=p^{m}$，$p$ 为素数，$m$ 为正整数。设 $\mathcal{C}_{(q, n, \delta, h)}$ 为长度为 $n$且设计距为 $\delta$的BCH码类。若线性码 $\mathcal{C}$的最短距为 $d=n-k+1$，则称其为最大距可分离码(MDS)。若 $d=n-k$，则称其为几乎MDS码(AMDS)。此外，若 $\mathcal{C}$及其对偶码 $\mathcal{C}^{\bot}$均为AMDS，则称 $\mathcal{C}$为近MDS码(NMDS)。在[一类几乎MDS码, {Finite Fields Appl.} {bf 79} (2022), #101996]中，Geng、Yang、Zhang和Zhou证明了BCH码 $\mathcal{C}_{(q, q+1,3,4)}$为几乎MDS码，其中 $q=3^m$且 $m$为奇整数，同时证明其参数为 $[q+1, q-3, 4]$。此外，他们提出了一个猜想，即其对偶码 $\mathcal{C}^{\bot}_{(q, q+1, 3, 4)}$也是一个参数为 $[q+1, 4, q-3]$的AMDS码。本文首先给出几乎MDS码的对偶码为几乎MDS码的判据。随后我们利用该结果证明Geng-Yang-Zhang-Zhou猜想成立。我们的结果联合Geng-Yang-Zhang-Zhou定理表明，BCH码 $\mathcal{C}_{(q, q+1,3,4)}$为近MDS码。