连续环的射影简单性与Bergman性质

我们证明了非离散、不可约且连续环R的射影单位群$\mathrm{PGL}(R)$，即单位群$\mathrm{GL}(R)$相对于其中心的商，是简单的。此外，我们表明$\mathrm{GL}(R)$具有不可数强Cofinality，即它不是一系列proper子群的可数并联，且对任何生成集都具有有限宽度。等价地，$\mathrm{GL}(R)$上的每个等距作用在度量空间上都有受限的轨道。由此可得，$\mathrm{GL}(R)$上的任何作用通过等距映射在非空完备的$\mathrm{CAT}(0)$空间上必然存在固定点。特别是，$\mathrm{GL}(R)$具备Serre的性质(FH)和(FA)。进一步地，我们的结果表明$\mathrm{PGL}(R)$具有有界normal generation。由此，我们回答了Carderi和Thom的两个问题。