Veronese 嵌入的秩 3 二次生成元

设 $L$ 是定义于代数闭域 $\Bbbk$ 上的射影概形 $X$ 上的非常丰富线丛，且 ${\rm char}~\Bbbk \neq 2$。若线性正规嵌入 $X \subset \mathbb{P}H^0 (X,L)$ 的齐次理想可由秩 $\leq k$ 的二次型生成，则称 $(X,L)$ 满足性质 $\mathsf{QR}(k)$。许多经典簇如 Segre-Veronese 嵌入、有理正规滚动簇和高次曲线都满足性质 $\mathsf{QR}(4)$。本文首先证明若 ${\rm char}~\Bbbk \neq 3$，则对所有 $n \geq 1$ 和 $d \geq 2$，$(\mathbb{P}^n , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} (d))$ 满足性质 $\mathsf{QR}(3)$。我们还研究了任意射影概形上性质 $\mathsf{QR}(3)$ 的渐近行为。即，我们证明：$(i)$ 若 $X \subset \mathbb{P} H^0 (X,L)$ 是 $m$-正则的，则对所有 $d \geq m$，$(X,L^d )$ 满足性质 $\mathsf{QR}(3)$；$(ii)$ 若 $A$ 是 $X$ 上的丰富线丛，则对所有充分大的偶数 $d$，$(X,A^d )$ 满足性质 $\mathsf{QR}(3)$。这些结果为如下预期提供了肯定证据：正如 Green-Lazarsfeld 条件 $\mathrm{N}_p$ 与 Eisenbud-Koh-Stillman 行列式表示（见 [EKS88]）的情形，性质 $\mathsf{QR}(3)$ 对 $X$ 上所有充分丰富的线丛均成立。最后，当 ${\rm char}~\Bbbk = 3$ 时，我们证明对所有 $n \geq 3$，$(\mathbb{P}^n , \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} (2))$ 不满足性质 $\mathsf{QR}(3)$。