带权射影空间上的很大束与带权 blowup

我们考虑由度数为 $w_1, \ldots, w_n$ 的 $n$ 个齐次元素的正整数生成的graded 环 $R$，其中最小公倍数为 $d$。我们证明，对每个整数 $k \geq \max(1, n-2)$，$kd$ 次 Verones 子环 $R^{(kd)}$ 在一度生成，这意味着映像 $\mathcal{O}(kd)$ 在 $\operatorname{Proj}(R)$ 上的线束是很大束。对于每个 $n \geq 4$，此命题都是尖锐的。我们证明若所有权重 $w_i$ 均小于 15，则 $R^{(d)}$ 在一度生成。此界限对所有 $n \geq 4$ 都是尖锐的。我们证明若权重两两互素，则 R^{(d) 总是一度生成。我们表明对于绝大多数向量 $(w_1, \ldots, w_n)$，$R^{(d)}$ 在一度生成。最后，我们证明存在 14 个基本向量，使得若所有权重小于 42 且 $R^{(d)}$ 不在一度生成，则在置换的情况下，$(w_1, \ldots, w_n)$ 的某个子序列等于某个基本向量。我们对 Rees 环以及映像 $\mathcal{O}(kd)$ 在带权 affine $n$ 空间的带权 blowup 上作出了类似的论述，其中不等式 $k \geq \max(1, n-2)$ 被替换为 $k \geq \max(1, n-1)$。