交换环上代数的生成元个数

O. Forster 的一个定理指出，若 $R$ 是 Krull 维数为 $d$ 的诺特环，则任意秩为 $n$ 的射影 $R$-模可由 $d+n$ 个元素生成。S. Chase 与 R. Swan 随后证明该界是紧的：存在无法由少于 $d+n$ 个元素生成的例子。我们将射影 $R$-模视为非幺 $R$-代数（其中任意两元素乘积为 $0$）的 $R$-形式。前两位作者将 Forster 定理推广到其它代数（不必交换、结合或幺）的形式；A. Shukla 与第三位作者随后证明该广义 Forster 界对 \'etale 代数是最优的。本文中，我们证明关于 $k$-代数的 $R$-形式的生成元个数的新上界与下界，其中 $k$ 是无限域且 $R$ 在 $k$ 上具有有限超越度 $d$。特别地，我们表明，与预期相反，对绝大多数类型的代数，广义 Forster 界远非最优。我们的结果在 Azumaya 代数情形下尤为详尽。我们的证明基于将该问题重新解释为用某种形式的代数空间逼近分类栈 $BG$ 的问题，其中 $G$ 为该代数的自同构群。