模形式分次代数的生成元与关系

我们给出了同余子群 $\Gamma_0(N)$（其中 $N$ 满足某些同余条件）和 $\Gamma_1(N)$ 上系数在 $\mathbb{Q}$ 中的模形式分次代数的关系理想的生成元次数界。我们还给出了 $\Gamma_1(N)$ 上系数在 $\mathbb{Z}[\frac{1}{N}]$ 中的模形式的分次 $\mathbb{Z}[\frac{1}{N}]$-代数的类似界。对于素数 $p \geq 5$ 我们给出了 $\Gamma_0(p)$ 的极小生成元列表中出现的最高的权的一个下界，并确定了系数在 $\mathbb{Z}$ 中的 $\Gamma_0(p)$ 上模形式的分次代数 $M(\Gamma_0(p),\mathbb{Z})$ 的一组生成元，表明该权是无界的。我们推广了 Serre 关于 $\Gamma_0(p)$ 和 $SL_2(\mathbb{Z})$ 上模形式之间同余的一个结果，并利用它确定了 $M(\Gamma_0(p),\mathbb{Z})$ 的一组生成元，同时提出了两个进一步详述该代数结构的猜想。最后，我们提供了关于这些代数中生成元和关系数量的计算，以及支持这些猜想的计算证据。