关于高阶朱代数的生成元与关系及其应用

我们给出了关于顶点算子代数的高阶朱代数的生成元与关系的一些一般性结果。特别地，对于顶点算子代数$V$中任意元素$u$，若$u$的权大于或等于$-n$（其中$n \in \mathbb{N}$），我们在第$n$阶朱代数$A_n(V)$中证明了一个递推关系，并给出了该关系的闭公式。我们利用这一结果以及$A_n(V)$的其他性质，只要$u \in V$具有某些性质（例如，这些性质适用于任意顶点算子代数的共形向量，或者当$u$生成一个海森堡顶点子代数时），就约化出现在$A_n(V)$生成元中的$u$的模式，然后我们证明了在$A_n(V)$中涉及这样一个元素$u$的进一步关系。我们提出了通用技术，一旦为$A_n(V)$确定了一组合适的生成元，就可以应用这些技术来帮助确定这些生成元的关系，例如利用这些生成元在低阶朱代数中的关系，以及由这些低阶朱代数诱导的$V$-模上的零模作用。我们证明了条件$(L(-1) + L(0))v$在$A_n(V)$中作用为零（对于$n \in \mathbb{Z}_+$和$V$中所有$v$）是定义高于零阶的朱代数时一个必要的附加条件。我们讨论了这些关于生成元与关系的结果如何应用于海森堡顶点算子代数和维拉宿顶点算子代数在任意阶$n \in \mathbb{N}$的$n$阶朱代数。