乘法基与交换半阿基米德正规代数

设 $R$ 为半阿基米德 (或正规) 环，其原始因子为阿基米德环。维数序列 $\mathcal D _R$ 是一种不变量，捕捉 socle 序列中各层中出现的各种 skew-field 和维数的特征。尽管 $\mathcal D _R$ 即使对于 Loewy 长度 $2$ 的环也不唯一确定 $R$，但我们证明当 $R$ 为计数类型 $K$-代数时，$\mathcal D _R$ 确实唯一确定 $R$。证明是构造性的：给定序列 $\mathcal D$，我们通过从 $K$-代数 $R(\aleph_0,K)$ 开始的 transfinite 迭代构造唯一的计数类型 $K$-代数 $R = B_{\alpha,n}$，使得 $\mathcal D = \mathcal D _R$。其中 $R(\aleph_0,K)$ 由所有 eventually constant 序列组成，即 $K^{\aleph_0}$。此外，我们证明 $K$-代数 $B_{\alpha,n}$ 具备强乘法基，尽管其母体 $K$-代数 $K^{\kappa}$ 对于任何无限基数 $\kappa$ 都甚至没有有界基。最近，一项关于 AECs 中模块 limit 模型数量的研究 [1] 引发了对任意无限基数 $\lambda$ 下严格 $\lambda$-注入模是否存在的兴趣。在最后一节中，我们为每个基数 $\kappa \geq \lambda$ 构造 $K$-代数 $R(\kappa,K)$ 上的此类模的例子。[1] M. Mazari-Armida, On limit models and parametrized noetherian rings, J. Algebra 669(2025), 58--74。