经典序与有限维代数上的重复解消

本文研究了投射解消与内射解消中的重复性及其对同调维数的影响。引入了关于重复性主题的一些变体，并证明相应的不变量能以单个模为基准，给出各种有限维数的极好且易于处理的上界。这些不变量是 Artin 环 $\Lambda$ 上模 $M$ 的“重复指数”和“syzygy 型”。重复指数衡量 $M$ 的 syzygy 的非投射直和项中的重复程度，而 $M$ 的 syzygy 型则衡量 $M$ 的 syzygy 的直和项中不可分解模的数量。证明若 $T$ 是一个包含 $\Lambda/J(\Lambda)$ 同构拷贝的右 $\Lambda$-模，则 $\Lambda$ 的左大有限维数以 $T$ 的重复指数为上界，而该重复指数又以 $T$ 的 syzygy 型为上界。研究了有限维 $K$-代数 $\Lambda = {\cal O}/\pi{\cal O}$，其中 $\cal O$ 是离散赋值环 $D$ 上的经典序，$\pi$ 为均匀化参数，$K$ 为剩余类域。证明若 $\text{gl.dim.}\, {\cal O} =d<\infty$，则 $\Lambda$ 的全局重复指数为 $d-1$，且所有有限生成 $\Lambda$-模均具有有限的 syzygy 型。文中给出了说明这些结果的多个示例。