局部交换 Artin 环上逐点有限维持久模的提升

设 $\mathbf{k}$ 为一个域，$V: \mathscr{C} \to \mathbf{k}\textup{-Mod}$ 为一个逐点有限维持久模，其中 $\mathscr{C}$ 是一个小范畴。假设对于所有剩余域同构于 $\mathbf{k}$ 的局部 Artin $\mathbf{k}$-代数 $R$，存在一个广义持久模 $M: \mathscr{C} \to R\textup{-Mod}$，使得对于所有 $x\in \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$，$M(x)$ 在 $R$ 上是有限秩自由模，且 $\mathbf{k}\otimes_R M(x)\cong V(x)$。如果 $V$ 是endomorphism 环同构于 $\mathbf{k}$ 的不可分解持久模 $V_I: \mathscr{C}\to \mathbf{k}\textup{-Mod}$ 的直和，那么 $M$ 是 endomorphism 环同构于 $R$ 的不可分解模 $M_I:\mathscr{C}\to R\textup{-Mod}$ 的直和。