模结构的提升、Ext 的消没与扩展模

设 $(R,\m)$ 和 $(S,\n)$ 为交换 Noether 局部环，并设 $\phi:R\to S$ 为平坦局部同态，使得 $\m S = \n$ 且在剩余域 $R/\m \to S/\n$ 上诱导的映射是同构。给定一个有限生成 $R$-模 $M$，我们证明 $M$ 具有与给定 $R$-模结构相容的 $S$-模结构，当且仅当对于每个 $i\ge 1$，$\Ext^i_R(S,M)=0$。我们称一个 $S$-模 $N$ 是{\it 扩展的}，如果存在一个有限生成 $R$-模 $M$ 使得 $N\cong S\otimes_RM$。给定有限生成 $S$-模的一个短正合序列 $0 \to N_1\to N \to N_2\to 0$，若 $N_1,N,N_2$ 三个模中有两个是扩展的，我们得到了迫使第三个模也为扩展模的条件。我们证明了 $R$ 的 Hensel 化上的每个有限生成模都是扩展模的直和项，但对于 $\m$-进完备化，类似的结果不成立。