广义局部上同调模的若干性质

设 $R$ 为交换 Noether 环，$\fa$ 为 $R$ 的理想，$M$ 与 $N$ 为两个有限生成 $R$-模。设 $t$ 为正整数。我们证明：若 $R$ 为以极大理想 $\fm$ 为局部的局部环，且 $M\otimes_R N$ 长度有限，则对所有 $t\geq 0$，$H_{\fm}^t(M,N)$ 长度有限，且 $l_R(H_{\fm}^t (M,N))\leq \sum_{i=0}^t l_R(\Ext_R^i(M,H_{\fm}^{t-i}(N)))$。由此得 $l_R(H_{\fm}^t(M,N))=l_R(\Ext_R^t(M,N))$。此外，我们证明对所有 $i\leq t$，$\Ext_R^i(R/{\fa},N)$ 为 Artinian 模当且仅当对所有 $i\leq t$，$H_{\fa}^i(M,N)$ 为 Artinian 模。进而，我们证明每当 $\dim (R/{\fa})=0$ 时，对所有 $t \geq 0$，$H_{\fa}^t(M,N)$ 为 Artinian 模。