关于一对理想的正则序列与局部上同调模

设 $R$ 为 Noether 环，$I$ 和 $J$ 为 $R$ 的两个理想，$t$ 为整数。设 $S$ 为 Artin $R$-模类，或所有满足 $\dim_RN\leq k$ 的 $R$-模 $N$ 的类，其中 $k$ 为整数。证明了 $\inf\{i: H^{i}_{I,J}(M)\notin S\}=\inf\{S-\depth_\frak{a}(M): \frak{a}\in \tilde{\rm W}(I,J)\}$，其中 $M$ 为有限生成 $R$-模，或是满足对所有 $\frak{a}\in \tilde{\rm W}(I,J)$ 均有 $M/\frak{a}M\notin S$ 的 $ZD$-模。设对所有 $i<t$，$\Supp_R H^{i}_{I,J}(M)$ 均为 $\Max(R)$ 的有限子集。证明了存在 $R$ 的极大理想 $\frak m_1, \frak m_2,\ldots,\frak m_k$，使得对所有 $i<t$，有 $H^{i}_{I,J}(M)\cong H^{i}_{\frak m_1}(M)\oplus H^{i}_{\frak m_2}(M)\oplus\cdots\oplus H^{i}_{\frak m_k}(M)$。