关于局部同调模的有限性

设 $R$ 为交换 Noether 环，$\mathfrak{a}$ 为 $R$ 的理想。假设 $M$ 是有限生成 $R$-模，$N$ 是 Artinian $R$-模。我们定义滤子余正则序列的概念，以确定使得广义局部同调 $\textrm{H}^{\mathfrak{a}}_i(M, N)$ 不作为 $\widehat{R}^{\mathfrak{a}}$-模有限生成的整数 $i$ 的下确界，其中 $\widehat{R}^{\mathfrak{a}}$ 表示 $R$ 的 $\mathfrak{a}$-进完备化。特别地，若 $R$ 是完备半局部环，则对所有非负整数 $i$，$\textrm{H}^{\mathfrak{a}}_i(M, N)$ 是有限生成 $\widehat{R}^{\mathfrak{a}}$-模当且仅当 $(0:_N\mathfrak{a}+\textrm{Ann}(M))$ 具有有限长度。