局部同调、Tor模的有限性与余有限性

设 $\frak a$ 是带单位元的交换诺特环 $R$ 的一个理想，$M$ 是一个在 $\V(\fa)$ 处支撑的 $R$-模。令 $n$ 为使得 $H^{\fa}_i(M)\neq 0$ 的整数 $i$ 的上确界。我们证明 $M$ 是 $\fa$-余有限的当且仅当 $R$-模 $\Tor^R_i(R/\fa,M)$ 对每个 $0\leq i\leq n$ 都是有限生成的。这提供了一个可操作且可计算的有限步准则来检验 $\mathfrak{a}$-余有限性。我们的方法严重依赖于局部同调理论，这证明了该工具的有效性与不可或缺性。