关于模的 EXT-有限范畴中对象的弱通用变形环

设 $\A$ 为一个 $\k$-代数，其中 $\k$ 为任意特征域，令 $\mathscr{A}_\k$ 为 $\A$-Mod（左 $\A$-模的阿贝尔范畴）的一个全子范畴。遵循 M. Kleiner 和 I. Reiten 的做法，若 $\mathscr{A}_\k$ 中任意两个对象之间的同态空间在 $\k$ 上是有限维的，则称 $\mathscr{A}_\k$ 为 Hom-有限的。进一步称 $\mathscr{A}_\k$ 为 Ext-有限的，若对所有 $\mathscr{A}_\k$ 中的对象 $X$ 和 $Y$，$\dim_\k\Ext^i_\A(X,Y)<\infty$。设 $V$ 为 $\mathscr{A}_\k$ 中的一个对象。在本文中，我们证明若 $\End_\A(V)$ 同构于 $\k$，则 $V$ 具有通用变形环 $R(\A,V)$，它是一个局部完备诺特交换 $\k$-代数，其剩余域也同构于 $\k$。我们利用此结果证明：若 $\A$ 是一个局部双点无限维温和 $\k$-代数（按 V. Bekkert 等人的定义），则 $R(\A,V)$ 同构于 $\k$、$\k[\![t]\!]/(t^2)$ 或 $\k[\![t]\!]$。