关于对偶数上（强）Gorenstein-投射模形变的简短注记

设 $\mathbf{k}$ 为任意特征的域，$\Lambda$ 为有限维 $\mathbf{k}$-代数。在本简短注记中，我们证明：若 $V$ 是一个有限生成的强 Gorenstein-投射左 $\Lambda$-模，且其稳定自同态环 $\underline{\mathrm{End}}_{\Lambda}(V)$ 同构于 $\mathbf{k}$，则 $V$ 拥有一个同构于对偶数环 $\mathbf{k}[\epsilon]$（其中 $\epsilon^2=0$）的通用形变环 $R(\Lambda,V)$。作为推论，我们得到以下结果：假设 $Q$ 是一个有限连通无环箭图，令 $\mathbf{k} Q$ 为相应的路代数，并设 $\Lambda = \mathbf{k} Q[\epsilon] = \mathbf{k} Q\otimes_{\mathbf{k}} \mathbf{k}[\epsilon]$。若 $V$ 是一个有限生成的 Gorenstein-投射左 $\Lambda$-模且满足 $\underline{\mathrm{End}}_{\Lambda}(V)=\mathbf{k}$，则 $V$ 拥有一个同构于 $\mathbf{k}[\epsilon]$ 的通用形变环 $R(\Lambda,V)$。