论 Nakayama 代数与三角矩阵代数上 Gorenstein-投射模的形变

设 $\mathbf{k}$ 为一个任意特征的固定域，$\Lambda$ 为一个有限维 $\mathbf{k}$-代数。假设 $V$ 是一个在 $\mathbf{k}$ 上有限维的左 $\Lambda$-模。F. M. Bleher 和作者先前证明了 $V$ 具有一个良定义的泛形变环（versal deformation ring）$R(\Lambda,V)$，它是一个剩余域同构于 $\mathbf{k}$ 的局部完备交换 Noetherian 环。此外，如果 $V$ 的自同态环同构于 $\mathbf{k}$，则 $R(\Lambda,V)$ 是万有的。在本文中，我们证明如果 $\Lambda$ 是一个没有单模的基础连通循环 Nakayama 代数，且 $V$ 是一个 Gorenstein-投射左 $\Lambda$-模，则 $R(\Lambda,V)$ 是万有的。此外，我们还证明万有形变环 $R(\Lambda,V)$ 和 $R(\Lambda, \Omega V)$ 是同构的，其中 $\Omega V$ 表示 $V$ 的第一合冲。这一结果推广了 F. M. Bleher 和 D. J. Wackwitz 关于自内射 Nakayama 代数上有限生成模的万有形变环的结论。另外，我们还证明了以下关于三角矩阵有限维代数上有限生成模的泛形变环的结果。设 $\Sigma=\begin{pmatrix} \Lambda & B\\0& \Gamma\end{pmatrix}$ 是一个三角矩阵有限维 Gorenstein $\mathbf{k}$-代数，其中 $\Gamma$ 具有有限全局维数，且 $B$ 作为左 $\Lambda$-模是投射的。如果 $\begin{pmatrix} V\\W\end{pmatrix}_f$ 是一个有限生成 Gorenstein-投射左 $\Sigma$-模，则泛形变环 $R\left(\Sigma,\begin{pmatrix} V\\W\end{pmatrix}_f\right)$ 和 $R(\Lambda,V)$ 是同构的。