带单位对偶 Azumaya 代数生成空间

设 $A$ 为域 $K$ 上的有限维代数（可能带有额外结构），且 $r\in\mathbb{N}$。构成 $A^r$ 的 $r$ 元 $(a_1,\dots,a_r)\in A^r$ 若不生成 $A$，则其 $K$-点是仿射空间 underlying $A^r$ 的闭子variety $Z_r$，其 codimensional 可被认为是量化一般 $r$ 元在 $A^r$ 中生成 $A$ 的程度。沿用这一直觉，第二作者、Reichstein 和 Williams 展示了 $Z_r$ 在 $A^r$ 中的 codimensional 的下界（对所有 $r$）蕴含 $K$-代数 $A$ 的形式在有限生成 $K$-环上的生成器数量的上界。该工作还演示了如何利用 $Z_r$ 的更细信息来构建需要大量元素才能生成的 $A$ 的形式。$Z_r$ 的维数和不可约分支在少数情况下已知，这特别导致了 Azumaya 代数和带有第一类对偶（正交或共轭）的 Azumaya 代数生成器数量的上界。本文处理带单位对偶的 Azumaya 代数的情形，通过求出当 $A$ 为 $K$-代数 $(\mathrm{M}_n(K)\times \mathrm{M}_n(K), (a,b)\mapsto (b^{\mathrm{t}},a^{\mathrm{t}})$ 时 $Z_r$ 的维数和不可约分支。我们的分析表明，任何在 Krull 维数为 $d$ 的有限生成 $K$-环上的带单位对偶的 Azumaya 代数可由 $\lfloor \frac{d}{2n-2}+\frac{3}{2} \rfloor$ 个元素生成。我们还通过发展第二作者、Reichstein 和 Williams 的工作，给出需要至少生成该数量一半的示例。我们的方法实际上适用于满足轻微假设的所有 $K$-代数 $A$ 来求出 $Z_r$ 的维数和不可约分支。