基于 (2,1)-对称性的代数曲率张量生成元

我们考虑代数曲率张量 R 的生成元，其可由乘积张量 U*w 或 w*U 的 Young 对称化构造，其中 U 与 w 分别为 3 阶与 1 阶协变张量。我们假设 U 属于由划分 (2,1) 刻画的不可约对称类无穷集 S 中的某一类。我们证明 S 恰含一个对称类 S_0，其元素 U 不能充当张量 R 的生成元角色。S\{S_0} 中所有其他对称类的张量 U 皆可用作 R 的生成元。利用计算机代数我们搜索了坐标表示为具有最少求和项数的多项式的生成元。对 U 的对称类的一般选取，我们得到长度为 8 项的和。在特殊情形这些数可降至最小值 4。若此最小值出现，则 U 容许一个指标交换对称性。此外，若 U 由交替 2-张量场的无挠协变导数构成，则最小长度亦可能。我们应用对称群 S_r 的群环 C[S_r] 的理想与幂等元、Young 对称化子、离散傅里叶变换以及 Littlewood-Richardson 积。对于符号计算我们使用了 Mathematica 软件包 Ricci 与 PERMS。