张量场一阶协变导数的对称类

我们证明，r 次协变张量场 T 的无挠协变导数 $\nabla T$ 的对称类可由 Littlewood-Richardson 积 $\sigma [1]$ 刻画，其中 $\sigma$ 是与 T 的对称类相关的对称群 $S_r$ 的表示。若 $\sigma = [\lambda]$ 不可约，则 $\sigma [1]$ 有无重数分解 $\[\lambda][1] = \sum [\mu]$，且该和中所有本原幂等元可由 T 的对称类的生成幂等元 e 通过不可约特征标或 $S_{r+1}$ 的离散傅里叶变换算出。我们将这些事实应用于对称或交错张量场 $\nabla S$、$\nabla A$ 的导数。差 $\nabla S - sym(\nabla S)$ 与 $\nabla A - alt(\nabla A)$ 的对称类分别由 Young 框 (r, 1) 与 (2, 1^{r-1}) 刻画。然而，虽然 $\nabla A - alt(\nabla A)$ 的对称类可由 (2, 1^{r-1}) 的 Young 对称化子生成，$\nabla S - sym(\nabla S)$ 的对称类却不能由任何 (r, 1) 的 Young 对称化子生成。进一步，在 r = 2 的情形我们证明 $\nabla S - sym(\nabla S)$ 与 $\nabla A - alt(\nabla A)$ 可用于代数协变导数曲率张量的生成公式。某些符号计算我们使用了 Mathematica 包 Ricci 与 PERMS。