由 Killing 向量构造 $\mathbb{S}^3$ 上的真空初始数据

我们通过共形方法构造了爱因斯坦四维真空方程常平均曲率 $\widetilde{K}$ 的紧致初始数据，其中 $\widehat{\Lambda} = \Lambda - (\widetilde{K}^2/3)$ 为正，$\Lambda$ 为宇宙学常数。为了显式构造横向无迹（TT）动量张量，我们首先观察到，如果种子流形具有两个正交的 Killing 向量，则它们的对称化张量积是一个自然的 TT 候选。在没有正交性要求但种子流形为局部共形平坦的情况下，存在一种广义的动量构造，其中也涉及 Beig 和 Krammer [2] 工作中发现的 Killing 场的导数。我们特别考虑 round three sphere（标准三维球面），并对由其六个 Killing 向量中所有可能点对产生的 TT 张量进行分类，重点关注种子数据为 $\mathbb{U}(1) \times \mathbb{U}(1)$ 对称的对易情形。关于求解 Lichnerowicz 方程，我们特别讨论了潜在的“对称性破缺”，即解比方程本身具有更少的对称性；我们将其与拓扑为 $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}$ 的“round donut”情形进行比较。在没有对称性破缺的情况下，$\mathbb{S}^3$ 上 $\mathbb{U}(1) \times \mathbb{U}(1)$ 对称动量的 Lichnerowicz 方程化为一个 ODE。我们通过解析与数值技术相结合分析了具有区别性的解族及由此产生的数据。最后，我们研究了数据中环面拓扑的边际俘获面。