关于存在 Killing 矢量的 Einstein-Maxwell-(A)dS 引力的可积性

我们研究了在存在 Killing 矢量的情况下，具有非零宇宙学常数的四维 Einstein-Maxwell 引力的某些对称性与可积性性质。首先，我们考虑稳态时空，在经过类时 Kaluza-Klein 约化以及随后对两个矢量场的对偶化之后，导出一个与引力耦合的三维非线性 sigma 模型，其目标空间是具有 SU(2,1) 等距群的非紧致版 $\mathbb{C}\text{P}^2$。研究表明，由四维宇宙学常数产生的标量势打破了八个 SU(2,1) 对称性中的三个，对应于广义 Ehlers 变换和两个 Harrison 变换。这留下一维 Heisenberg 群与平移群 $\mathbb{R}^2$ 的半直积作为剩余对称性。我们证明，在附加假设三维流形共形于乘积空间 $\mathbb{R}\times\Sigma$、且所有场仅依赖于沿 $\mathbb{R}$ 的坐标时，运动方程可积。这将 Leigh 等人于 arXiv:1403.6511 中的结果推广到也存在电磁场的情况。在论文第二部分，我们考虑纯引力时空，其容许第二个与类时矢量对易的 Killing 矢量。我们写下所得二维作用量并讨论其对称性。若场仅依赖于两个坐标之一，运动方程再次可积，并且解正是 Krasinski 多年前构造的一个解。