小 Littlewood-Richardson 系数的双伸缩

Littlewood-Richardson 系数 $c^\nu_{\lambda,\mu}$ 是一般线性群 GL$(n, {\mathbb C})$ 的两个不可约表示张量积分解中的重数。它们由长度不超过 $n$ 的分区三元组 $(\lambda, \mu, \nu)$ 参数化。根据所谓的 Fulton 猜想，若 $c^\nu_{\lambda,\mu}=1$，则对任意 $k \geq 0$ 有 $c^{k\nu}_{k\lambda,k\mu}= 1$。类似地，如 Ikenmeyer 或 Sherman 所证，若 $c^\nu_{\lambda,\mu}=2$，则对任意 $k\geq 0$ 有 $c^{k\nu}_{k\lambda,k\mu} = k + 1$。此处，给定分区 $\lambda$，我们记 $\lambda(p, q) = p(q\lambda')'$，其中撇号表示共轭分区。我们观察到 Fulton 猜想蕴含：若 $c^\nu_{\lambda,\mu}=1$，则对任意 $p, q \geq 0$ 有 $c^{\nu(p,q)}_{\lambda(p,q),\mu(p,q)}=1$。我们的主要结果是：若 $c^\nu_{\lambda,\mu}=2$，则对任意 $p, q \geq 0$，$c^{\nu(p,q)}_{\lambda(p,q),\mu(p,q)}$ 为二项式 $\begin{pmatrix} p+q\\ q \end{pmatrix}$。