与磁性 Heisenberg 环相关的对称类

我们在具有 N 个格点的一维自旋 -1/2 Heisenberg 磁性环的 Hilbert 空间 H 中定义了对称类和交换对称性，并利用对称群 $S_N$ 表示论的工具对其进行研究，这些工具包括群环 $\mathbb{C}[S_N]$ 理想的分解、$\mathbb{C}[S_N]$ 的幂等元、$S_N$ 的离散傅里叶变换以及 Littlewood-Richardson 积。特别是，我们确定了磁体哈密顿量的单个本征矢 $v$ 和本征矢子空间 $U$ 的最小对称类和稳定子群。确定 $U$ 的最小对称类基于一种算法，该算法显式计算 $\mathbb{C}[S_N]$ 右理想非直和的生成幂等元。设 $U$ 是哈密顿量具有权重 $(r_1,r_2)$ 的固定本征值 $\mu$ 的本征矢子空间。如果确定了 $U$ 中每个 $v$ 的最小对称类，则可以观察到对称行为的跃变。对于“一般”的 $v$，所有最小对称类具有相同的最大维数 $d$ 和结构。但 $U$ 可能包含线性子空间，在这些子空间上 $v$ 的最小对称类维数跃变至小于 $d$ 的值。此时 $v$ 的稳定子群可能会增大。我们可以显式计算此类跃变。在我们的研究中，我们使用了 Mathematica 软件包 PERMS 和 HRing 进行计算机计算。