可分离对称张量与可分离反对称张量

本文中，我们首先引入偶阶张量的可逆性与可分离张量，包括可分离对称张量与可分离反对称张量，分别定义为由若干向量（记为$v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}$）张量积生成的秩-1张量的和与代数和。我们证明若$v_{1},v_{2}, \ldots, v_{m}$线性无关，则$m!$个求和项（每项形如$v_{\sigma(1)}\times v_{\sigma(2)}\times\ldots\times v_{\sigma(m)}$）线性无关，其中$\sigma$是$\set{1,2,\ldots,m}$上的任意置换。我们给出一类张量，使对所有$A\in R^{3\times 3\times 3}$满足$\rank(A) \leq 6$的上界可达。我们还证明每个$3\times 3\times 3$反对称张量都是可分离的。