关于三类不同三角分块张量的一些性质

我们定义了三类上（和下）三角分块张量，它们均为三角分块矩阵的推广。我们研究了这三类三角分块张量的一些基本性质与刻画。我们得到了第一类和第二类三角分块张量的行列式、特征多项式和谱的公式，并给出例子表明这些公式对第三类三角分块张量不再成立。我们证明任意两个同类型的第一、第二或第三类 $(n_1,\cdots,n_r)$-上（或下）三角分块张量的乘积仍是同类型 $(n_1,\cdots,n_r)$-上（或下）三角分块张量。我们还证明，若第一、第二或第三类 $(n_1,\cdots,n_r)$-上三角分块张量存在左 $k$-逆，则其唯一的左 $k$-逆仍是同类型 $(n_1,\cdots,n_r)$-上三角分块张量。若其存在右 $k$-逆，则其所有右 $k$-逆仍是同类型 $(n_1,\cdots,n_r)$-上三角分块张量。通过证明弱不可约非奇异 $M$-张量的左 $k$-逆（若存在）为正张量，我们表明第一、第二或第三类标准 $(n_1,\cdots,n_r)$-上三角分块非奇异 $M$-张量的左 $k$-逆（若存在）是同类型 $(n_1,\cdots,n_r)$-上三角分块张量，且其所有对角块均为正张量。我们还表明，任意 $m$ 阶 $n$ 维张量均置换相似于某个第三类正规上三角分块张量（其所有对角块不可约）。给出例子表明，对第一类标准上三角分块张量此结论不成立。