张量秩：一些下界和上界
计算复杂性
2012-03-05 v1
摘要
Strassen和Raz的结果表明，足够好的张量秩下界对代数电路/公式下界有影响。我们探索张量秩的下界和上界，重点关注显式张量。对于奇数d，我们构造了域无关的显式0/1张量T:[n]^d->F，其秩至少为2n^(floor(d/2))+n-Theta(d log n)。这在d=3时匹配（在F_2上）或改进（在所有其他域上）已知下界，并在奇数d>3时改进（在任何域上）。我们还探索了置换矩阵的一种推广，我们称之为置换张量。通过计数，我们证明存在一个阶为3的置换张量具有超线性秩。我们还探索了一类自然的置换张量，我们称之为群张量。对于任意群G，我们定义群张量T_G^d:G^d->F，其中T_G^d(g_1,...,g_d)=1当且仅当g_1 x ... x g_d=1_G。我们给出了这些张量秩的两个上界。第一个使用表示论，适用于大域F，表明（除其他外）rank_F(T_G^d)<= |G|^(d/2)。我们还证明，如果这个上界是紧的，那么超线性张量秩下界将随之而来。第二个上界使用插值，仅适用于阿贝尔群G，表明在任何域F上，rank_F(T_G^d)<= O(|G|^(1+log d)log^(d-1)|G|)。在两种情况下，这表明许多置换张量的秩远非最大，这与矩阵情况非常不同，因此消除了许多高张量秩的自然候选者。我们还探索了单调张量秩。我们给出了显式0/1张量T:[n]^d->F，其张量秩至多为dn，但单调张量秩恰好为n^(d-1)。这是一个近乎最优的分离。
引用
@article{arxiv.1102.0072,
title = {Tensor Rank: Some Lower and Upper Bounds},
author = {Boris Alexeev and Michael Forbes and Jacob Tsimerman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1102.0072},
year = {2012}
}
备注
27 pages