几何秩关于子秩的下界

对于固定秩的张量，我们在子秩上建立了几种上界。首先，在基本特征域条件下，证明张量的几何秩受其在有限度扩张域中子秩函数的限制。其次，表明在任意代数闭域上，张量的几何秩受其子秩函数的限制。最后，证明任意域上秩为三的张量，其几何秩是其子秩的二次多项式上界。我们的结果具有几个 immediate but 有趣的含义：(1) 我们回答了 Kopparty、Moshkovitz 和 Zuiddam 提出的关于子秩与几何秩关系的开放问题；(2) 对于秩为三的张量，我们以最优方式推广了 Biaggi、Chang、Draisma 和 Rupniewski（或 Derksen、Makam 和 Zuiddam）关于 border subrank（或 subrank）增长率的定理；(3) 对于秩为三的张量，我们将 Biaggi、Draisma 和 Eggleston 关于 subrank 稳定性的定理从实数域推广到任意域；(4) 我们确认了 Derksen、Makam 和 Zuiddam 提出的关于 direct sum 的 subrank 与子秩之和之间最大间隙的开放问题；(5) 我们首次推导了 border subrank 的 de-bordering 结果，并给出子秩关于 partition rank 和 analytic rank 的上界；(6) 我们重新证明了关于 subrank 的 gap 结果。