张量子秩中的一个间隙
代数几何
2023-11-27 v2 计算复杂性
组合数学
量子物理
摘要
张量的子秩是衡量张量可被“对角化”程度的量。该参数由 Strassen 引入，用于代数复杂性理论中研究快速矩阵乘法算法，并与组合学、计算机科学和量子信息论中的许多中心张量参数（如切片秩、划分秩、解析秩、几何秩、G-稳定秩）及问题密切相关。Strassen（J. Reine Angew. Math., 1988）证明了在张量积下取大幂时子秩存在间隙：要么所有幂的子秩至多为 1，要么其以严格大于 1 的常数之幂增长。本文中，我们精确确定了任意阶张量的该常数。此外，对于三阶张量，我们证明了在可能的增长率中存在第二个间隙。我们的结果加强了 Costa 和 Dalai（J. Comb. Theory, Ser. A, 2021）的近期工作，他们证明了切片秩的类似间隙。我们关于子秩的定理具有更广泛的应用，它不仅暗示了切片秩，而且暗示了任何“归一化单调”参数的此类间隙。为证明主要结果，我们刻画了张量何时在其轨道闭包中含有结构高度规则的张量（W-张量）。我们的方法包括 Grassmanians 中的退化，这可能有独立的意义。
引用
@article{arxiv.2212.01668,
title = {A Gap in the Subrank of Tensors},
author = {Matthias Christandl and Fulvio Gesmundo and Jeroen Zuiddam},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.01668},
year = {2023}
}
备注
25 pages. Final version