张量的对称子秩及其应用
计算复杂性
2022-03-15 v2 交换代数
组合数学
摘要
Strassen（Strassen, J. Reine Angew. Math., 375/376, 1987）引入了张量的子秩作为矩阵秩到张量的自然推广。子秩度量通过对张量的不同指标（腿）施加线性运算可获得的最大对角张量（正如矩阵秩度量使用行与列运算可获得的最大对角矩阵）。受组合数学与复杂性理论中的问题驱动，我们引入张量的对称子秩这一新概念，将这些线性运算限制为对每个指标相同。我们证明了子秩与对称子秩之间精确的关系与分离。我们证明对于对称张量，子秩与对称子秩渐近相等。这证明了被称为张量理论中的 Comon 猜想的渐近子秩类比猜想。该结果使我们能够证明 Strassen 的渐近对偶定理的一般版本与对称版本之间的强联系。我们引入一种表示论方法来渐近界定对称子秩，称为对称量子泛函，以类比量子泛函（Christandl, Vrana, Zuiddam, J. Amer. Math. Soc., 2021），并研究这些泛函之间的关系。
引用
@article{arxiv.2104.01130,
title = {Symmetric Subrank of Tensors and Applications},
author = {Matthias Christandl and Omar Fawzi and Hoang Ta and Jeroen Zuiddam},
journal= {arXiv preprint arXiv:2104.01130},
year = {2022}
}
备注
We have split up the previous version at arXiv:2104.01130v1 into two: (1) the paper at arXiv:2111.08262 on combinatorial degeneration and (2) this paper on symmetric subrank