张量渐近谱中的普适点

张量的渐近限制问题是：给定张量 $s$ 和 $t$，当 $n$ 趋于无穷时，$s$ 的第 $n$ 次张量幂是否可以通过对张量腿施加线性映射（我们称之为限制）从 $t$ 的第 $(n+o(n))$ 次张量幂获得。在此背景下，Volker Strassen 为理解矩阵乘法的复杂性，于 1986 年引入了张量的渐近谱。本质上，对于在直和与张量积下封闭的一族张量 $X$，其渐近限制问题归结为寻找所有从 $X$ 到实数的映射，这些映射在限制下单调，在对角张量上归一化，在直和下可加，在张量积下可乘，Strassen 将其命名为谱点。Strassen 创建了支撑泛函，它们是斜张量（所有张量的一个严格子族）的谱点。普适谱点是所有张量族的谱点。非平凡普适谱点的构造三十多年来一直是一个悬而未决的问题。我们利用量子熵和协变量首次构造了一族复数域上的非平凡普适谱点：量子泛函。在此过程中，我们将渐近谱与量子边际问题和纠缠多面体联系起来。为展示渐近谱，我们（事后）重新证明了近期关于帽子集问题的结果，通过将该问题归约为计算约化多项式乘法张量的渐近谱，这是 Strassen 工作的一个典型例子。对我们普适谱点构造的更好理解可能会推动相关问题的进一步进展。我们还额外证明了量子泛函刻画了复数张量的渐近切片秩。