渐近秩猜想与集合覆盖猜想不可能同时为真

Strassen 的渐近秩猜想 [Progr. Math. 120 (1994)] 声称，对由常数大小基张量迭代 Kronecker 积得到的三阶张量，其秩有一个强次乘性上界。若该猜想为真，最值得注意的是将使方阵乘法落入二次时间。我们在此指出，该领域指数时间算法中的一些多少出乎意料的算法结果也将随之成立。具体地，我们研究所谓的集合覆盖猜想，该猜想称对任意 $\epsilon>0$，存在正整数常数 $k$，使得没有算法能在最坏情况时间 $\mathcal{O}((2-\epsilon)^n|\mathcal F|\operatorname{poly}(n))$ 内求解 $k$-集合覆盖问题。$k$-集合覆盖问题给定输入为一个 $n$ 元全集 $U$、一个由 $U$ 的大小至多为 $k$ 的子集构成的族 $\mathcal F$，以及一个正整数 $t$，问是否存在 $\mathcal F$ 中至多 $t$ 个集合的子族其并为 $U$。该猜想由 Cygan 等人在专著 Parameterized Algorithms [Springer, 2015] 中明确提出，但作为假设已隐含于 Cygan 等人 [CCC 2012, ACM Trans. Algorithms 2016] 中，那里猜想其可由强指数时间假设推出。我们证明：若渐近秩猜想为真，则集合覆盖猜想为假。利用 Krauthgamer 和 Trabelsi [STACS 2019] 的一个归约，在此情形下我们还将得到另一个广受研究问题（即判定给定 $n$ 顶点有向图是否有哈密顿圈）的 $\mathcal{O}((2-\delta)^n)$ 时间随机算法，其中 $\delta>0$ 为某常数，而此前未知此类算法。