渐近秩猜想与集合覆盖猜想之间更强的联系

我们给出一个简短证明：Strassen 的渐近秩猜想蕴含对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个在大小为 $n$ 且集合大小有界的论域上以 $(3/2^{2/3} + \varepsilon)^n$ 时间运行集合覆盖的算法。这加强并简化了 Bj\"orklund 与 Kaski 近期的结果，即 Strassen 的渐近秩猜想蕴含集合覆盖猜想为假。从另一视角，我们证明集合覆盖猜想蕴含特定张量族 $T_n \in \mathbb{C}^N \otimes \mathbb{C}^N \otimes \mathbb{C}^N$ 的渐近秩大于 $N^{1.08}$。此外，若能将对 $T_n$ 张量秩的已知上界 $\frac{1}{2}8^n$ 改进为对任意 $n$ 有 $\frac{2}{9 \cdot n}8^n$，则集合覆盖猜想为假。