用于渐近秩猜想的通用张量序列

张量 $T\in\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d$ 在域 $\mathbb{F}$ 上的指数 $\sigma(T)$ 刻画了 $T$ 在Kronecker幂下张量秩指数增长率的底数。张量指数从算法和计算复杂性理论的角度是基础性的；例如，矩阵乘法的指数 $\omega$ 可以表征为 $\omega=2\sigma(\mathrm{MM}_2)$，其中 $\mathrm{MM}_2\in\mathbb{F}^4\otimes\mathbb{F}^4\otimes\mathbb{F}^4$ 是表示 $2\times 2$ 矩阵乘法的张量。我们的主要结果是显式构造一个由0-1值张量组成的序列 $\mathcal{U}_d$，该序列对于最坏情况张量指数是通用的；更精确地说，我们证明 $\sigma(\mathcal{U}_d)=\sigma(d)$，其中 $\sigma(d)=\sup_{T\in\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d}\sigma(T)$。我们还提供了一个显式的通用序列 $\mathcal{U}_\Delta$，用于捕获支撑集包含在 $\Delta\subseteq [d]\times[d]\times [d]$ 中的张量的最坏情况指数 $\sigma(\Delta)$；通过组合这样的序列，我们得到一个通用序列 $\mathcal{T}_d$，使得 $\sigma(\mathcal{T}_d)=1$ 当且仅当Strassen的渐近秩猜想 [Progr. Math. 120 (1994)] 对 $d$ 成立。最后，我们证明极限 $\lim_{d\rightarrow\infty}\sigma(d)$ 存在，并且可以表示为 $\lim_{d\rightarrow\infty} \sigma(D_d)$，其中 $(D_d)_{d=1}^\infty$ 是通过对角化序列 $\mathcal{U}_d$ 得到的显式张量序列。我们的第二个结果将固定次数多项式在低秩张量（或更一般地，渐近秩）上消失的缺失与指数 $\sigma(d)$ 的上界联系起来。利用这一技术，可以给定格式的所有张量的渐近秩，只要知道足够多的低渐近秩的具体张量。