关于张量秩分解的平均条件数

我们计算了随机张量秩分解的几何条件数之幂的期望值。特别地，我们证明了具有随机秩-$r$分解的 $n_1\times n_2 \times 2$ 张量（由具有独立同分布标准正态元素的因子矩阵给出）的条件数的期望值是无穷的。这意味着人们预期且很可能这样的秩-$r$分解对张量的扰动是敏感的。此外，它提供了进一步的 concrete 证据，表明张量分解可能是一个具有挑战性的问题，从数值角度来看也是如此。另一方面，我们提供了强有力的理论和经验证据，表明大小为 $n_1~\times~n_2~\times~n_3$ 且所有 $n_1,n_2,n_3 \ge 3$ 的张量具有有限的平均条件数。这表明在格式为 $n_1\times n_2 \times 2$ 的张量与其他三阶张量之间，存在期望敏感性的鸿沟。为建立这些结果，我们证明了从张量秩分解到具有无穷几何条件数的不适定分解轨迹的自然加权距离由该条件数的倒数从下方界定。即，我们证明了朝向所谓的张量秩分解条件数定理的一个不等式。