随机三阶张量的典型秩

本文我们研究实数 $m\times n \times \ell$ 张量的典型秩。在 $(m-1)(n-1)+1 \leq \ell \leq mn$ 的情况下，典型秩包含在 $\{\ell, \ell +1\}$ 中，且 $\ell$ 永远是典型秩。我们提供几何证明。我们将这些秩的概率表达式为随机线性空间与塞格尔 variety 相交点数目的概率。此外，我们给出一些启发式方法来理解这些秩概率的行为，基于对互补维子空间中随机线性切片中真实点的平均数的渐近结果。$3\times 3\times 5$ 实数张量的典型秩为 $5$ 和 $6$。我们将 $3\times 3 \times 5$ 张量中独立同分布高斯元素与 $\mathbb{P}^3$ 中随机三次曲面具有实线的概率联系起来。据此，我们得到关于此类曲面上真实线数目的上界。