均匀随机条目下低秩张量恢复的样本复杂度

我们证明，一个秩为 $d$、阶为 $k$ 的一般张量 $T\in \mathbb{F}^{n\times n\times \dots\times n}$ 可在当 $d$ 和 $k$ 为常数且 $\mathbb{F}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ 时，通过 $n\log n+dn\log \log n +o(n\log \log n)$ 个均匀随机条目高概率唯一恢复。该上界在第二个主导项系数上与下界一致，并改进了现有阶 $k$ 张量的 $O(n^{\frac{k}{2}}{\rm polylog}(n))$ 上界。通过表明将 Segre variety 投影到随机轴对齐线性子空间时，若子空间维数为 $n\log n+dn\log \log n +o(n\log \log n)$ 且 $n$ 足够大，则可高概率保持 $d$-identifiability，从而获得该上界。