稀疏随机张量：集中性、正则化及其应用

我们证明了具有 Bernoulli 项的稀疏非齐次随机张量谱范数的非渐近集中不等式。对于稀疏度 $p_{\max}\geq \frac{c\log n}{n }$ 的 $k$ 阶非齐次随机张量 $T$，我们证明以高概率有 $\|T-\mathbb E T\|=O(\sqrt{n p_{\max}}\log^{k-2}(n))$。该界在 polylog 因子意义下的最优性由一个信息论下界给出。通过张量展开，我们将稀疏度范围扩展至 $p_{\max}\geq \frac{c\log n}{n^{m}}$（$1\leq m\leq k-1$），并获得了不同稀疏度区间下的集中不等式。我们还提供了一种对 $T$ 进行正则化的简单方法，使得在稀疏度低至 $p_{\max}\geq \frac{c}{n^{m}}$（$k/2\leq m\leq k-1$）时仍有 $O(\sqrt{n^{m}p_{\max}})$ 集中性成立。我们给出集中与正则化结果的两个应用：（i）具有良好扩张混合性质的有限度超图的随机化构造，（ii）均匀采样下稀疏化张量的集中性。