伯努利二次型的渐近分布

考虑随机二次型 $T_n=\sum_{1 \leq u < v \leq n} a_{uv} X_u X_v$，其中 $((a_{uv}))_{1 \leq u, v \leq n}$ 是一个取值为 $\{0, 1\}$ 的对角为零的对称矩阵，且 $X_1,$ $X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的 $\mathrm{Ber}(p_n)$。本文中，我们在稀疏 regime 下证明了关于 $T_n$ 极限分布的各种刻画定理，其中 $0 < p_n \ll 1$ 使得 $\mathbb E(T_n)=O(1)$。主要结果是一个分解定理，表明 $T_n$ 的分布极限是三个分量之和：一个由独立泊松变量的二次函数构成的混合；一个线性泊松混合，其中混合的均值本身是独立泊松随机变量的（可能为无穷的）线性组合；以及另一个独立的泊松分量。这伴随一个普适性结果，允许我们将伯努利分布替换为一大类其他离散分布。该一般定理的另一推论是泊松收敛的充要条件，其中出现了一种有趣的第二矩现象。