期望无穷时 Poisson 二项分布的局部极限定理

设 $V_{n} = X_{1,n} + X_{2,n} + \cdots + X_{n,n}$，其中 $X_{i,n}$ 为 Bernoulli 随机变量，以概率 $b(i;n)$ 取值 $1$。令 $\lambda_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} b(i;n)$，$\lambda = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_n$，以及 $m_n = \max\limits_{1 \leq i \leq n} b(i;n)$。我们推导了 $P(V_{n}=k)$ 的渐近结果，且不要求 $\lambda < +\infty$ 或 $m_n \to 0$。同时，我们不假设 $k$ 固定，而是结果对满足关于 $n$ 的特定增长条件的所有 $k$ 一致成立。这些结果将已知的 Poisson 局部极限定理推广到 $\lambda = +\infty$ 的情形。尽管我们的结果适用于三角阵列，但在不要求 $m_n \to 0$ 的条件下，它们对 Bernoulli 随机变量之和依然成立。在此设定下，我们的增长条件覆盖了不 centered at $\lambda_n$ 的 $k$ 值范围，从而补充了基于正态分布逼近的已知局部极限定理。此外，我们证明了我们的局部极限定理适用于 Sevast'yanov 工作中引入的一类相依随机变量方案。