非负随机变量和的最优二项、泊松及正态左尾控制

设 $X_1,\dots,X_n$ 为独立的非负随机变量 (r.v.'s)，令 $S_n:=X_1+\dots+X_n$，且 $s_i:=E X_i^2$ 和 $m_i:=E X_i>0$ 为有限值。针对以下每种情形，获得了对于某类非增函数 $\mathcal{F}$ 中的所有函数 $f$，$E f(S_n)$ 的精确上界：(i) $n,m_1,\dots,m_n,s_1,\dots,s_n$ 固定；(ii) $n$，$m:=m_1+\dots+m_n$ 和 $s:=s_1+\dots+s_n$ 固定；(iii) 仅 $m$ 和 $s$ 固定。这些上界的形式为 $E f(\eta)$，其中 $\eta$ 为某随机变量。随机变量 $\eta$ 和函数类 $\mathcal{F}$ 取决于三种情形中的哪一种选择。特别地，在情形 (ii) 中，$(m/s)\eta$ 服从参数为 $n$ 和 $p:=m^2/(ns)$ 的二项分布；在情形 (iii) 中，服从参数为 $\lambda:=m^2/s$ 的泊松分布。在这三种情形的任何一种中，也可以让 $\eta$ 服从均值为 $m$、方差为 $s$ 的正态分布。在每种情形下，函数类 $\mathcal{F}$ 不仅包含而且远宽于所有递减指数函数的类。作为这些结果的推论，给出了对于任意实数 $x$，左尾概率 $P(S_n\le x)$ 在某种意义下的最优上界。事实上，本文考虑了比上述描述更一般的情形。Pinelis 和 Utev 此前已获得 $h<0$ 时指数矩 $E\exp\{hS_n\}$ 的精确上界，以及相应的左尾概率指数界。本文表明，新的尾部界限实质上更优。