关于任意分布的 Littlewood-Offord 理论

设 $X_1,\ldots,X_n$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中独立同分布的随机向量。我们考虑在各种对 $X_i$ 与权重 $a_i$ 的限制下，对 $\max_x \mathbb{P}(a_1X_1+\cdots+a_nX_n=x)$ 的上界估计。当 $\mathbb{P}(X_i=\pm 1) = \frac {1} {2}$ 时，这对应于经典的 Littlewood-Offord 问题。我们证明，一般而言，对于同分布随机向量及偶数 $n$，$(a_i)$ 的最优选择为：当 $i\leq \frac{n}{2}$ 时 $a_i=1$，当 $i > \frac {n} 2$ 时 $a_i=-1$，而与 $X_1$ 的分布无关。将这些结果应用于伯努利随机变量，回答了 Fox、Kwan 和 Sauermann 近期提出的一个问题。最后，在条件 $\sup_{x}\mathbb{P}(X_i=x)\leq \alpha$ 下，我们给出了随机向量和集中概率的锐界；结果表明，最坏情形由定义在等差数列上、在某种意义下尽可能接近均匀分布的随机变量提供。本工作的一个重要特点是，与大量相关文献不同，我们既未使用调和分析的方法，也未使用极值组合学的方法。