多项式 Littlewood-Offord 问题的代数方面

考虑独立 Rademacher 随机变量 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 的 $d$ 次多项式 $f(\xi_1,\dots,\xi_n)$。$f(\xi_1,\dots,\xi_n)$ 能在多大程度上集中于单点？这就是所谓的多项式 Littlewood-Offord 问题。Meka、Nguyen 和 Vu 证明了一个近乎最优的界：除非 $f$ “接近于零多项式”（仅有 $o(n^d)$ 个非零系数），否则点概率始终至多约为 $1/\sqrt n$。在本文中，我们证明了几个支持以下一般性理念的结果：除非 $f$ “接近于具有特殊代数结构的多项式”，否则 Meka-Nguyen-Vu 界可以得到显著改进，并由此与解析数论中的一些现象进行了比较。特别地，我们的结果之一是 Costello 关于多重线性形式猜想的一个修正版本（在附录中，我们与 Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 一起推翻了 Costello 的原始猜想）。