通过格点计数求解几何Littlewood-Offord问题

考虑非零向量$a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{C}^{k}$,独立的Rademacher随机变量$\xi_{1},\dots,\xi_{n}$,以及集合$S\subseteq\mathbb{C}^{k}$。我们能为随机和$\xi_{1}a_{1}+\dots+\xi_{n}a_{n}$落在$S$内的概率给出什么上界？我们发展了一个通用框架,允许将此类问题归约为计数$S$中的格点。我们以此框架结合数论几何中的已知结果,在$S$为位于凸位置的点集、代数variety或半代数集时证明各种界限。特别地,这解决了Fox-Kwan-Spink和Kwan-Sauermann的猜想。我们也获得了关于有界Chow秩多项式Littlewood-Offord问题的若干推论,这些多项式可表示为有限数量线性形式的多项式。例如,我们结果之一确认了Nguyen和Vu在Chow秩有限的多项式的特殊情况中的猜想:若一个有界次数多项式$F\in\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$具有有限Chow秩且'对至少$b$个变量具有稳健依赖',则$\mathbb{P}[F(\xi_{1},\dots,\xi_{n})=0]\le O(1/\sqrt{b})$。我们也在$F$为'稳健不可约'时获得显著更强的界限,以Costello的猜想为目标。