拟范数的逆Littlewood-Offord问题

给定一个星型域 $K\subseteq \mathbb R^d$、$n$ 个向量 $v_1,\dots,v_n \in \mathbb R^d$、一个数 $R>0$ 以及独立同分布的随机变量 $\eta_1,\dots,\eta_n$，我们在小球概率 $$\sup_{x\in \mathbb R^d}~\mathbb P\Bigg(\sum_{j=1}^n\eta_jv_j\in x+RK\Bigg)$$ 随 $n\to \infty$ 衰减不太快的前提下，研究向量集 $V = \{v_1,\dots,v_n\}$ 的几何与算术结构。这推广了 $K$ 为欧氏球的情况，后者先前由 Nguyen-Vu 和 Tao-Vu 研究过。