最优逆Littlewood-Offord定理

设$\eta_i$为独立同分布的伯努利随机变量，以1/2的概率取值-1和1。给定一个由n个整数$v_1, ..., v_n$构成的多重集V，我们将集中概率定义为$\rho(V) := \sup_{x} \Pr(v_1 \eta_1+...+ v_n \eta_n=x)$。Littlewood-Offord和Erdős在20世纪40年代的一个经典结果表明，如果$v_i$非零，则$\rho(V)$为$O(n^{-1/2})$。此后，许多研究者通过假设V的各种额外限制得到了改进的界。大约5年前，受随机矩阵问题的启发，Tao和Vu引入了逆Littlewood-Offord问题。在逆问题中，给定$\rho(V)$相对较大，人们希望对集合V给出一个刻画。在本文中，我们引入了一种解决逆问题的新方法。作为应用，我们加强了Tao和Vu的一个先前结果，得到了V的最优刻画。这立即蕴含了几个经典定理，例如Sárközy-Szemerédi和Halász的定理。该方法也适用于连续情形，并导致了Tao和Vu的$\beta$-网定理的一个简单证明，该定理在他们最近对随机矩阵的研究中起着关键作用。所有结果都推广到一般情形，即V是阿贝尔无挠群的子集，且$\eta_i$是满足某些弱条件的独立变量。