关于反 Littlewood–Offord 理论中的计数问题

设 $\epsilon_1, \dotsc, \epsilon_n$ 为独立同分布的 Rademacher 随机变量，各以 1/2 概率取值 $\pm 1$。给定整数向量 $\boldsymbol{a} = (a_1, \dotsc, a_n)$，其集中概率为 $\rho(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{Z}}\Pr(\epsilon_1 a_1+\dots+\epsilon_n a_n = x)$。Littlewood-Offord 问题在各种关于 $\boldsymbol{a}$ 的假设下寻求 $\rho(\boldsymbol{a})$ 的界，而由 Tao 和 Vu 提出的反 Littlewood-Offord 问题则要求刻画所有使 $\rho(\boldsymbol{a})$ 较大的向量 $\boldsymbol{a}$。在本文中，我们研究相关的计数问题：属于某指定集合且具较大 $\rho(\boldsymbol{a})$ 的整数向量 $\boldsymbol{a}$ 有多少个？我们研究的动机在于，在典型应用中，反 Littlewood-Offord 定理仅被用于获得此类计数估计。采用更直接的途径，我们对此问题获得了比使用 Tao 与 Vu 以及 Nguyen 与 Vu 的反 Littlewood–Offord 定理显著更好的界。此外，我们开发了一个利用该计数结果推导随机离散矩阵奇异性概率上界的框架。为说明方法，我们给出了以下两个模型奇异性概率的首个“指数型”（即对某些正常数 $c$ 为 $\exp(-n^c)$）上界：(i) 稠密带符号随机正则有向图的邻接矩阵，其此前最佳已知界为 Cook 给出的 $O(n^{-1/4})$；(ii) 稠密行正则 $\{0,1\}$-矩阵，其此前最佳已知界为 Nguyen 给出的对任意常数 $C>0$ 为 $O_{C}(n^{-C})$。