Erdős 的逆 Littlewood--Offord 问题

设 $\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{n}$ 为独立的 Rademacher 随机变量。我们证明存在常数 $c>0$，使得对于任意单位向量 $v_1,\ldots,v_n\in \mathbb{R}^2$，有 $$\Pr\left[||\epsilon_1 v_1+\cdots+\epsilon_n v_n||_2 \leq \sqrt{2}\right]\geq \frac{c}{n}.$$ 这解决了 Erdős 关于 Littlewood--Offord 问题的开创性论文中仅剩的猜想，并且该结果在常数 $\sqrt{2}$ 不能减小和阶数 $n^{-1}$ 最优的意义上都是精确的。我们还证明了高维情形下类似问题的多项式界。