Curie-Weiss 模型的 Littlewood-Offord 问题

在本文中，我们考虑一维 Curie-Weiss 模型中的 Littlewood-Offord 问题。设 $$Q_n^{+}:=\sup_{x\in\mathbb{R}}\sup_{v_1,v_2,\ldots,v_n\geq 1}P(\sum_{i=1}^{n}v_i\varepsilon_i\in(x-1,x+1)),$$ $$Q_n=\sup_{x\in\mathbb{R}}\sup_{|v_1|,|v_2|,\ldots,|v_n|\geq 1}P(\sum_{i=1}^{n}v_i\varepsilon_i\in(x-1,x+1))$$ 其中随机变量 $(\varepsilon_i)_{1\leq i\leq n}$ 为 Curie-Weiss 模型中的自旋。我们计算了 $Q_n^{+}$ 和 $Q_n$ 当 $n\to\infty$ 时的渐近性质，并观察到了相变现象。同时，我们还得到 $Q_n^{+}$ 在 $v_1=v_2=\cdots=v_n=1$ 时达到；而 $Q_n$ 在 $n$ 为偶数时，当 $(v_i)_{1\leq i\leq n}$ 的一半等于 $1$、另一半等于 $-1$ 时达到。这是经典 Littlewood-Offord 问题从 Rademacher 随机变量到可能相关随机变量的推广。特别地，它包含了独立同分布 Bernoulli 随机变量的一般情形。